miércoles, 27 de octubre de 2010

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Una circunferencia se transforma en una recta según se incrementa su radio: una recta es una circunferencia de radio infinito.












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Una inversión es una simetría axial en la que el eje se transforma en una circunferencia. La simetría axial divide el plano en dos semiplanos y los elementos de uno son inversos del otro; en la inversión hay dos superficies, la comprendida dentro de la circunferencia y la exterior a la misma.
Para calcular el inverso de un punto interno A se hace un segmento OA y se prolonga hasta que corte a la tangente por T, punto de intersección de la circunferencia y la perpendicular a OA por A.
A y A’ son inversos y siempre están alineados con O, que es el centro de inversión. Los puntos inversos de la circunferencia roja son dobles (inversos de sí mismos) por lo que se llama de autoinversión.















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Si por B hacemos la tangente a la circunferencia y en el punto N de tangencia la perpendicular a CA tenemos el inverso de B que es B’.
Análogamente el de A es A’ y el inverso del infinito en la dirección CB es el centro C ya que la tangente a la circunferencia por O corta a la línea CB en el infinito.
El inverso del centro de inversión C está por tanto en el infinito.













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Para calcular la inversa de una circunferencia amarilla r desde el centro de inversión O y tomando como circunferencia de puntos dobles o de autoinversión C, unimos los dos centros de C y r. Desde la intersección A, B, de r con la línea que une los centros hacemos los inversos de A y B, que son A’ y B’. La nueva circunferencia inversa de I es la roja que tiene por diámetro el segmento A’-B’.
Como la inversión conserva las tangentes, si trazamos dos rectas t, p tangentes a una circunferencia cualquiera (p. ej., r) desde O, se tiene que las rectas t, p también son tangentes a la circunferencia s, por ser inversas una de la otra.
















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Existe una interpretación espacial para la inversión y sirve para hacer ejercicios de esferas tangentes cuyos centros estén en un mismo plano.
La inversión espacial de centro O y esfera de autoinversión auto transforma la esfera b en a de forma que desde O existe un cono tangente a las dos esferas y se tiene que si desde los vértices M, N, (puntos de la esfera a diametralmente opuestos incidentes en la línea de centros de las esferas y del centro de inversión) se hacen 2 conos respectivamente tangentes a la esfera auto, sus bases son tangentes a la esfera b.















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Aquí tenemos casos posibles de figuras inversas con la circunferencia de autoinversión (rellena de color gris): del 1 al 4 observamos la inversa de una recta que es una circunferencia roja que siempre pasa por el centro de inversión excepto si la recta pasa por éste, cuya inversa es entonces la misma recta pero no sus puntos.
Del 5 al 10 observamos la inversa de una circunferencia roja que se transforma en azul. En el caso 11 se transforma en sí misma y en el 9 la azul va hasta el infinito pues su inversa roja pasa por el centro de inversión.



















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Por regla general una recta se transforma en circunferencia por inversión. En la figura un rectángulo ABCD tiene por inverso a un cuadrilátero A’B’C’D’ cuyos lados son curvos, excepto el lado AB (por pasar por el centro de inversión) que se transforma en la misma recta pero con otros puntos inversos como se ve en la figura.
























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Una forma de intuir rápidamente las inversas de figuras es pensar en un triángulo rectángulo cuyos extremos de la hipotenusa inciden en la circunferencia inversa y la circunferencia autoinversa. En el momento en que los puntos de la recta m, inversa de m’, salen del interior de la circunferencia autoinversa los puntos se intercambian, la hipotenusa la forman los puntos de la circunferencia autoinversa y los de la recta m.






















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Según el teorema del cateto, demostrado en la p.:http://figuras-equivalentes.blogspot.com/, el cuadrado rosa y el rectángulo amarillo tienen el mismo área, o lo que es lo mismo, el cateto OA del triángulo verde es a su hipotenusa OB, como el cateto OB del triángulo verde más azul es a su hipotenusa OA’, ya que ambos son proporcionales:
OA/OB = OB/OA’, por tanto OA. OA’= OB. OB = k.
Como vemos A A’ son inversos respecto al centro O y a la circunferencia de autoinversión (de color negra), por lo que en toda inversión se cumple: OA. OA’= OB. OB = k.

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